Математики из Мэрилендского университета Джейкоб Бедроссян, Сэмюэл Пуншон-Смит и Алекс Блюменталь разработали первое строгое математическое доказательство, объясняющее фундаментальный закон турбулентности. Доказательство закона Бэтчелора будет представлено на заседании Общества промышленной и прикладной математики 12 декабря 2019 г.
Хотя все законы физики можно описать с помощью математических уравнений, многие из них не поддерживаются подробными математическими доказательствами, объясняющими лежащие в их основе принципы. Одной из областей физики, которую считали слишком сложной для объяснения с помощью строгой математики, является турбулентность. Наблюдаемая в океаническом прибое, вздымающихся облаках и следе за движущимся автомобилем, турбулентность – это хаотическое движение жидкостей (включая воздух и воду), которое включает в себя, казалось бы, случайные изменения давления и скорости.
Турбулентность – это причина того, что уравнения Навье-Стокса, описывающие движение жидкости, настолько трудно решить, что любой, кто сможет доказать их математически, получит награду в миллион долларов.
Чтобы понять поток жидкости, ученые должны сначала понять турбулентность.
«Должна быть возможность взглянуть на физическую систему и математически понять, верен ли данный физический закон», – сказал Джейкоб Бедросян, профессор математики в UMD и соавтор доказательства. «Мы считаем, что наше доказательство дает основу для понимания того, почему закон Бэтчелора, ключевой закон турбулентности, верен в том смысле, в котором до сих пор не было сделано ни одной теоретической физики. Эта работа может помочь прояснить некоторые вариации, наблюдаемые в экспериментах с турбулентностью, и предсказать, в каких условиях действует закон Бэтчелора, а в каких – нет."
С момента его введения в 1959 году физики обсуждали применимость и область действия закона Бэтчелора, который помогает объяснить, как химические концентрации и колебания температуры распределяются в жидкости. Например, добавление сливок в кофе создает большой водоворот, от которого отходят маленькие завитки, а еще более мелкие завитки отходят от них.
По мере смешивания крема завитки становятся меньше, а уровень детализации меняется на каждом масштабе. Закон Бэтчелора предсказывает детализацию этих завихрений в разных масштабах.
Закон играет роль в таких вещах, как смешивание химикатов в растворе, смешивание речной воды с соленой водой, когда она течет в океан, и теплая вода Гольфстрима, объединяющаяся с более холодной водой, когда течет на север. За прошедшие годы было сделано много важных вкладов, чтобы помочь понять этот закон, включая работу в UMD выдающихся профессоров университета Томаса Антонсена и Эдварда Отта. Однако полное математическое доказательство закона Бэтчелора так и осталось неуловимым.
«До работы профессора Бедроссиана и его соавторов закон Бэтчелора был лишь предположением», – сказал Владимир Сверак, профессор математики в Университете Миннесоты, который не принимал участия в работе. "Предположение было подтверждено некоторыми данными экспериментов, и можно было предположить, почему такой закон должен выполняться. Математическое доказательство закона можно рассматривать как идеальную проверку непротиворечивости.
Это также дает нам лучшее понимание того, что на самом деле происходит в жидкости, и это может привести к дальнейшему прогрессу."
«Мы не были уверены, что это можно сделать», – сказал Бедросян, который также работает в Центре научных вычислений и математического моделирования UMD. "Универсальные законы турбулентности считались слишком сложными для математического рассмотрения. Но мы смогли решить эту проблему, объединив опыт из разных областей."
Будучи экспертом по уравнениям в частных производных, Бедросян пригласил двух докторантов из UMD, которые являются экспертами в трех других областях, чтобы помочь ему решить эту проблему. Сэмюэл Пуншон-Смит (Ph.D. ’17, прикладная математика, статистика и научные вычисления), в настоящее время доцент Прагера в Университете Брауна, является экспертом в области теории вероятностей. Алекс Блюменталь – эксперт в области динамических систем и эргодической теории, раздела математики, который включает в себя то, что широко известно как теория хаоса.
Команда представляла четыре отдельные области математических знаний, которые редко взаимодействуют в такой степени. Все были необходимы для решения проблемы.
"Подход к проблеме действительно творческий и новаторский", – сказал Сверак. "Иногда метод доказательства может быть даже более важным, чем само доказательство.
Вероятно, идеи из статей профессора Бедросяна и его соавторов будут очень полезны в будущих исследованиях."
Новый уровень сотрудничества, достигнутый командой в этом вопросе, создает основу для разработки математических доказательств для объяснения других недоказанных законов турбулентности.
«Если это доказательство – все, что мы достигли, я думаю, мы чего-то добились», – сказал Бедросян. "Но я надеюсь, что это разминка и что это откроет дверь, чтобы сказать:" Да, мы можем доказать универсальность законов турбулентности, и они не выходят за рамки математики ".«Теперь, когда мы получили более четкое представление о том, как использовать математику для изучения этих вопросов, мы работаем над созданием математических инструментов, необходимых для изучения большего количества этих законов."
Понимание основных физических принципов, лежащих в основе большего количества законов турбулентности, может в конечном итоге помочь инженерам и физикам в разработке более совершенных транспортных средств, ветряных турбин и аналогичных технологий или в улучшении прогнозов погоды и климата.